Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} - 5$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$6 x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x = 0$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 3 x^{2} - 5$ bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{2} - 5$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 5$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f (0) = - 5$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 3 x^{2} - 5$ ist $y = - 5$ .

$y = - 5$

Schritt 5