Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 3 x + 2$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{4} - 3 x + 2$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 3 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4 x^{3} - 3$ und $0$ .

$4 x^{3} - 3$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 3 = 0$ .

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Schritt 3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} = 3$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{3}{4}$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 3.4.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

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Schritt 3.4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 3.4.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Schritt 3.4.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Schritt 3.4.4.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.4.4.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Schritt 3.4.4.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.4.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 3.4.4.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.4.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

Schritt 3.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{6}$ heraus.

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

Schritt 3.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ bei $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ als $\sqrt[3]{6^{4}}$ um.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.2.2

Potenziere $6$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.2.3

Schreibe $1296$ als $6^{3} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.2.1.2.3.1

Faktorisiere $216$ aus $1296$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.2.3.2

Schreibe $216$ als $6^{3}$ um.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $16$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt[3]{6}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{- 3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Schritt 4.2.2

Um $- \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Schritt 4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Schritt 4.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Schritt 4.2.5.1.2

Subtrahiere $12 \sqrt[3]{6}$ von $3 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Schritt 4.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ ist $y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Dezimalform:

$y = - 0.04426066 \dots$

Schritt 7