Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{1}{x}$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x + \frac{1}{x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 2.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2.2

Multipliziere jeden Term in $2 x + \frac{1}{x} = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere jeden Term in $2 x + \frac{1}{x} = 0$ mit $x$ .

$2 x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + \frac{1}{x} x = 0 x$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Schritt 2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} + 1 = 0 x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = - 1$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- \frac{1}{2}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ um.

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Schritt 2.3.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 2.3.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 2.3.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.3.4.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.3.4.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.3.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.3.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.3.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.3.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Es gibt keine Tangente an einem imaginären Punkt. Der Punkt $x =$ existiert nicht im reellen Koordinatensystem.

Eine Tangente kann nicht über die Wurzel ermittelt werden

Schritt 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{2} + \ln (x)$ .

No horizontal tangent lines

Schritt 5