Analysis Beispiele

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 7 x^{2} - 14 x + 14$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(7 x^{2} - 14 x + 14) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 14 x + 14]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 14 x + 14]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} - 14 x + 14$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [14])$

Schritt 3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [14])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [14])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [14])$

Schritt 3.5

Da $- 14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 14 x$ nach $x$ gleich $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x - 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14])$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 14$ mit $1$ .

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x - 14 + \frac{d}{d x} [14])$

Schritt 3.8

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x - 14 + 0)$

Schritt 3.9

Addiere $14 x - 14$ und $0$ .

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x - 14)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{2} e^{x} - 14 x e^{x} + 14 e^{x} + e^{x} (14 x - 14)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{2} e^{x} - 14 x e^{x} + 14 e^{x} + e^{x} (14 x) + e^{x} \cdot - 14$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Bringe $- 14$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$7 x^{2} e^{x} - 14 x e^{x} + 14 e^{x} + e^{x} (14 x) - 14 \cdot e^{x}$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 14 x e^{x}$ und $e^{x} (14 x)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$7 x^{2} e^{x} + 14 e^{x} - 14 x e^{x} + 14 x e^{x} - 14 e^{x}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $- 14 x e^{x}$ und $14 x e^{x}$ .

$7 x^{2} e^{x} + 14 e^{x} + 0 - 14 e^{x}$

Schritt 4.3.3

Addiere $7 x^{2} e^{x} + 14 e^{x}$ und $0$ .

$7 x^{2} e^{x} + 14 e^{x} - 14 e^{x}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $14 e^{x}$ von $14 e^{x}$ .

$7 x^{2} e^{x} + 0$

Schritt 4.3.5

Addiere $7 x^{2} e^{x}$ und $0$ .

$7 x^{2} e^{x}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $7 x^{2} e^{x}$ um.

$7 e^{x} x^{2}$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren in $7 e^{x} x^{2}$ um.

$7 x^{2} e^{x}$