Analysis Beispiele

$f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 x^{5} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$ und $0$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$

Schritt 2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 1.39902337, 0, 0.13320739$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ bei $x = - 1.39902337$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.39902337$ .

$f (- 1.39902337) = {(- 1.39902337)}^{6} + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $- 1.39902337$ mit $6$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1.39902337$ mit $3$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 \cdot - 2.73826144 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 2.73826144$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $- 1.39902337$ mit $2$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1 \cdot 1.9572664 + 9$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.9572664$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1.9572664 + 9$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $13.69130723$ von $7.49807575$ .

$f (- 1.39902337) = - 6.19323148 - 1.9572664 + 9$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $1.9572664$ von $- 6.19323148$ .

$f (- 1.39902337) = - 8.15049788 + 9$

Schritt 3.2.2.3

Addiere $- 8.15049788$ und $9$ .

$f (- 1.39902337) = 0.84950211$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.84950211$ .

$0.84950211$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

Schritt 4.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 9$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - {(0)}^{2} + 9$

Schritt 4.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 0 + 9$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 9$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 9$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $0$ und $9$ .

$f (0) = 9$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ bei $x = 0.13320739$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.13320739$ .

$f (0.13320739) = {(0.13320739)}^{6} + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $0.13320739$ mit $6$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $0.13320739$ mit $3$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 \cdot 0.00236365 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $0.00236365$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Schritt 5.2.1.4

Potenziere $0.13320739$ mit $2$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 1 \cdot 0.0177442 + 9$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.0177442$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 0.0177442 + 9$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $0.00000558$ und $0.01181829$ .

$f (0.13320739) = 0.01182388 - 0.0177442 + 9$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $0.0177442$ von $0.01182388$ .

$f (0.13320739) = - 0.00592032 + 9$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $- 0.00592032$ und $9$ .

$f (0.13320739) = 8.99407967$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $8.99407967$ .

$8.99407967$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ sind $y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$ .

$y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$

Schritt 7