Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 x^{2}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$6 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $192$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $192 x$ nach $x$ gleich $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $192$ mit $1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.5.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $6 x^{2} + 72 x + 192$ und $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} + 72 x + 192 = 0$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 72 x + 192$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$6 (x^{2}) + 72 x + 192 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $6$ aus $72 x$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 (12 x) + 192 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $6$ aus $192$ heraus.

$6 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot 32 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 (12 x)$ heraus.

$6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 32 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 32$ heraus.

$6 (x^{2} + 12 x + 32) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 12 x + 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $32$ und deren Summe $12$ ist.

$4, 8$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$6 ((x + 4) (x + 8)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (x + 4) (x + 8) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.4

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (x + 4) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, - 8$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ bei $x = - 4$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{3} + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 7$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f (- 4) = 2 \cdot - 64 + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 7$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 64$ .

$f (- 4) = - 128 + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 7$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = - 128 + 36 \cdot 16 + 192 (- 4) + 7$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $36$ mit $16$ .

$f (- 4) = - 128 + 576 + 192 (- 4) + 7$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $192$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = - 128 + 576 - 768 + 7$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $- 128$ und $576$ .

$f (- 4) = 448 - 768 + 7$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $768$ von $448$ .

$f (- 4) = - 320 + 7$

Schritt 3.2.2.3

Addiere $- 320$ und $7$ .

$f (- 4) = - 313$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 313$ .

$- 313$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ bei $x = - 8$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = 2 {(- 8)}^{3} + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 7$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $3$ .

$f (- 8) = 2 \cdot - 512 + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 7$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 512$ .

$f (- 8) = - 1024 + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 7$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$f (- 8) = - 1024 + 36 \cdot 64 + 192 (- 8) + 7$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $36$ mit $64$ .

$f (- 8) = - 1024 + 2304 + 192 (- 8) + 7$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $192$ mit $- 8$ .

$f (- 8) = - 1024 + 2304 - 1536 + 7$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 1024$ und $2304$ .

$f (- 8) = 1280 - 1536 + 7$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $1536$ von $1280$ .

$f (- 8) = - 256 + 7$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $- 256$ und $7$ .

$f (- 8) = - 249$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 249$ .

$- 249$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 7$ sind $y = - 313, y = - 249$ .

$y = - 313, y = - 249$

Schritt 6