Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - 9 x + 10$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 9 x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$4 x - 9 + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x - 9 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $4 x - 9$ und $0$ .

$4 x - 9$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x - 9 = 0$ .

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Schritt 2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 9$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 9$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 9$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{9}{4}$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 2 x^{2} - 9 x + 10$ bei $x = \frac{9}{4}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 {(\frac{9}{4})}^{2} - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{4}$ an.

$f (\frac{9}{4}) = 2 (\frac{9^{2}}{4^{2}}) - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 (\frac{81}{4^{2}}) - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 (\frac{81}{16}) - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{9}{4}) = 2 (\frac{81}{2 (8)}) - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9}{4}) = 2 (\frac{81}{2 \cdot 8}) - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

Schritt 3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $- 9 (\frac{9}{4})$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} + \frac{- 9 \cdot 9}{4} + 10$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} + \frac{- 81}{4} + 10$

Schritt 3.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81}{4} + 10$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{81}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - (\frac{81}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 10$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{81}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 10$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $10$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{10}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{10}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{10}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{10}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{10 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{10 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{8} + \frac{10 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81 - 81 \cdot 2 + 10 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 81$ mit $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81 - 162 + 10 \cdot 8}{8}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $10$ mit $8$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81 - 162 + 80}{8}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $162$ von $81$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 80}{8}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $- 81$ und $80$ .

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 1}{8}$

Schritt 3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{1}{8}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 2 x^{2} - 9 x + 10$ ist $y = - \frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8}$

Schritt 5