Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{x}$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Schritt 1.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.8

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2

Dividiere $x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 2.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 2.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x \sqrt{x}$ bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (0) = 0 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 0 \cdot 0$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = x \sqrt{x}$ ist $y = 0$ .

$y = 0$

Schritt 5