Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 4 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$4 - 4 \cos (x)$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 - 4 \cos (x) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \cos (x) = - 4$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (x) = - 4$ durch $- 4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos (x) = - 4$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 4$ .

$\cos (x) = 1$

Schritt 2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ bei $x = 2 π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

$f (2 π) = 4 (2 π) - 4 \sin (2 π)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (2 π)$

Schritt 3.2.1.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (0)$

Schritt 3.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \cdot 0$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (2 π) = 8 π + 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $8 π$ und $0$ .

$f (2 π) = 8 π$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $8 π$ .

$8 π$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ ist $y = x = 2 π n, y = 8 π$ .

$y = x = 2 π n, y = 8 π$

Schritt 5