Analysis Beispiele

$f (x) = 8 x - x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 - (2 x)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 - 2 x$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 2 x + 8$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x + 8 = 0$ .

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Schritt 2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 8$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 8$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 8$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 2$ .

$x = 4$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 8 x - x^{2}$ bei $x = 4$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = 8 (4) - {(4)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$f (4) = 32 - {(4)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = 32 - 1 \cdot 16$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (4) = 32 - 16$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $16$ von $32$ .

$f (4) = 16$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $16$ .

$16$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 8 x - x^{2}$ ist $y = 16$ .

$y = 16$

Schritt 5