Analysis Beispiele

$f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} - 4 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$12 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x - 4 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $12 x - 4$ und $0$ .

$12 x - 4$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x - 4 = 0$ .

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Schritt 2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = 4$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 4$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = 4$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{12}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{4 (1)}{12}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ bei $x = \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 {(\frac{1}{3})}^{2} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (2) (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Schritt 3.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Schritt 3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Schritt 3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3}) = 2 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Schritt 3.2.1.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Schritt 3.2.1.6

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{- 4}{3} + 5$

Schritt 3.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 5$

Schritt 3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{2 - 4}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{3}) = 5 - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{15 - 2}{3}$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $15$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$

Schritt 3.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{13}{3}$ .

$\frac{13}{3}$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ ist $y = \frac{13}{3}$ .

$y = \frac{13}{3}$

Schritt 5