Analysis Beispiele

$\csc (x)$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Schritt 1.2

Stelle die Faktoren von $- \csc (x) \cot (x)$ um.

$- \cot (x) \csc (x)$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \cot (x) \csc (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Schritt 2.2

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Löse $\cot (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.2.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (0)$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.2.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.2.4

Vereinfache $π + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.2.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 2.2.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 2.2.2.4.3.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.2.2.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 2.2.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.2.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.2.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.2.2.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.3

Setze $\csc (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $\csc (x)$ gleich $0$ .

$\csc (x) = 0$

Schritt 2.3.2

Der Wertebereich des Kosekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- \cot (x) \csc (x) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \csc (x)$ bei $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Schritt 3.2.2

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \csc (x)$ bei $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2} + π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 4.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Schritt 4.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $π$ und $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})$

Schritt 4.2.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosekans im vierten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \csc (\frac{π}{2})$

Schritt 4.2.5

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Schritt 4.2.7

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = \csc (x)$ ist $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Schritt 6