Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.3.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 1.1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1}$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}}$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}}$

Schritt 1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}$

Schritt 1.8.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 2.2

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Das Gleichsetzen der Ableitung mit $0$ , $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ , ergibt keine Lösungen, folglich gibt es keine horizontalen Tangenten.

Keine horizontalen Tangenten gefunden

Schritt 4