Analysis Beispiele

$\cos (x)$

Schritt 1

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \sin (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \cos (x)$ bei $x = π$ .

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Schritt 3.1

$f (π) = \cos (π)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$f (π) = - \cos (0)$

Schritt 3.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (π) = - 1$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = \cos (x)$ ist $y = x = π n, y = - 1$ .

$y = x = π n, y = - 1$

Schritt 5