Analysis Beispiele

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$

Schritt 1

Set each solution of $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 100 x y \to f (x) = 100 x y$

Schritt 2

Because the $y$ variable in the equation $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 x y)$

Schritt 2.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.2.6.2

Stelle die Faktoren von $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100 x y$ nach $x$ gleich $100 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$100 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$100 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$100 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$100 (x y' + y)$

Schritt 2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$100 x y' + 100 y$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ .

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Schritt 2.5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.3

Multipliziere $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.5.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.6

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1.4.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.7.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 2.5.1.4.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.1.4.8

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = 100 x y' + 100 y$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $100 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y$

Schritt 2.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.3.1

Subtrahiere $12 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3}$

Schritt 2.5.3.2

Subtrahiere $12 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere $4 y'$ aus $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y'$ heraus.

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Schritt 2.5.4.1

Faktorisiere $4 y'$ aus $12 y y' x^{2}$ heraus.

$4 y' (3 y x^{2}) + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 2.5.4.2

Faktorisiere $4 y'$ aus $12 y^{3} y'$ heraus.

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 2.5.4.3

Faktorisiere $4 y'$ aus $- 100 x y'$ heraus.

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 2.5.4.4

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3})$ heraus.

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 2.5.4.5

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x)$ heraus.

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Schritt 2.5.5

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ durch $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ durch $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ .

$\frac{4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x$ .

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Schritt 2.5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.5.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $4$ .

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Schritt 2.5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $100 y$ heraus.

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

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Schritt 2.5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{(3) x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

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Schritt 2.5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.3.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Schritt 2.5.5.3.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Schritt 2.5.5.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Schritt 2.5.5.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 2.5.5.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Schritt 2.5.5.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Schritt 2.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Schritt 3

The roots of the derivative $\frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Schritt 4