Analysis Beispiele

$2 \cos (2 x)$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \sin (2 x) \cdot 1$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 \sin (2 x)$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 4 \sin (2 x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \sin (2 x) = 0$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \sin (2 x) = 0$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 2.1.2.1.2

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$\sin (2 x) = 0$

Schritt 2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (0)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - 0$

Schritt 2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 x = π + 0$

Schritt 2.6.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$2 x = π$

Schritt 2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.7

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.8

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 2 \cos (2 x)$ bei $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.1

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (π)$

Schritt 3.2.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- \cos (0))$

Schritt 3.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 2$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 2 \cos (2 x)$ ist $y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$ .

$y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$

Schritt 5