Analysis Beispiele

$x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $3 x^{2} - 6 x$ und $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 x (x) - 6 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (- 2)$ heraus.

$3 x (x - 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 x (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 3.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ bei $x = 2$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = 8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 1$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f (2) = 8 - 12 + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$f (2) = - 4 + 1$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f (2) = - 3$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ sind $y = 1, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3$

Schritt 6