Analysis Beispiele

$y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$

Schritt 1

Set each solution of $y^{6} + x^{3}$ as a function of $x$ .

$y = y^{2} + 12 x \to f (x) = y^{2} + 12 x$

Schritt 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{6} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Schritt 2.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{6} + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 y^{5} y' + 3 x^{2}$

Schritt 2.2.3.2

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y'$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 2.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Schritt 2.3.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$2 y y' + 12$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' = 2 y y' + 12$

Schritt 2.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $2 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' - 2 y y' = 12$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y^{5} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $6 y^{5} y' - 2 y y'$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $6 y^{5} y'$ heraus.

$2 y y' (3 y^{4}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.3.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1$ heraus.

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ durch $2 y (3 y^{4} - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ durch $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{4} - 1$ .

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Schritt 2.5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 2.5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (3 y^{4} - 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 2.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = 0$ .

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{- 1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$ durch $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{1}$

Schritt 3.2.3.2

Dividiere $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ durch $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten mit $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Schritt 3.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (3 y^{4} - 1)$ heraus.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Schritt 3.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Schritt 3.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Schritt 3.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y (3 y^{4} - 1)$ .

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Schritt 3.4.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Schritt 3.4.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} = 2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Schritt 3.4.2.1.2

Multipliziere $2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

$3 x^{2} = \frac{2 \cdot 6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Schritt 3.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y (3 y^{4} - 1)$ .

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} = 12$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 12$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 12$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 3.5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 3.5.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Schritt 3.5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.1.3.1

Dividiere $12$ durch $3$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 3.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.5.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 3.5.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 3.5.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 3.5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 4

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = 2$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = y^{2} + 12 (2)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$f (2) = y^{2} + 24$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $y^{2} + 24$ .

$y^{2} + 24$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = - 2$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = y^{2} + 12 (- 2)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = y^{2} - 24$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $y^{2} - 24$ .

$y^{2} - 24$

Schritt 6

The horizontal tangent lines are $y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

$y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

Schritt 7