Analysis Beispiele

$y^{2} - x y - 12 = 0$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - x$ und $c = - 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Schritt 1.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 1.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Schritt 1.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 1.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - x y - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.4

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

Schritt 3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $2 y y' - x y' - y$ und $0$ .

$2 y y' - x y' - y$

Schritt 3.3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' - x y' - y = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - x y' = y$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y' - x y'$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (2 y) - x y' = y$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 y) + y' (- x)$ heraus.

$y' (2 y - x) = y$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - x) = y$ durch $2 y - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y - x) = y$ durch $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y - x$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 4

The roots of the derivative $\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Schritt 5