Analysis Beispiele

y^{2} - x y - 12 = 0

$y^{2} - x y - 12 = 0$

Schritt 1

Solve the equation as

y

$y$ in terms of

x

$x$ .

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = - x

$b = - x$ und

c = - 12

$c = - 12$ in die Quadratformel ein und löse nach

y

$y$ auf.

\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Wende die Produktregel auf

- x

$- x$ an.

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere

x^{2}

$x^{2}$ mit

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot - 12

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 12

$- 12$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

+

$+$ -Teil von

\pm

$\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Wende die Produktregel auf

- x

$- x$ an.

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere

x^{2}

$x^{2}$ mit

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot - 12

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.4.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 12

$- 12$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 1.4.3

Ändere das

\pm

$\pm$ zu

+

$+$ .

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

-

$-$ -Teil von

\pm

$\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Wende die Produktregel auf

- x

$- x$ an.

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere

x^{2}

$x^{2}$ mit

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot - 12

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Schritt 1.5.1.4.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 12

$- 12$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 1.5.3

Ändere das

\pm

$\pm$ zu

-

$-$ .

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 2

Set each solution of

y

$y$ as a function of

x

$x$ .

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Schritt 3

Because the

y

$y$ variable in the equation

y^{2} - x y - 12 = 0

$y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than

1

$1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

y^{2} - x y - 12

$y^{2} - x y - 12$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.2

Berechne

\frac{d}{d x} [y^{2}]

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = x^{2}$ und

$g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich

$n u^{n - 1}$ ist mit

$n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.2.1.3

Ersetze alle

$u$ durch

$y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe

$\frac{d}{d x} [y]$ als

$y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.3

Berechne

$\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 3.2.3.1

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- x y$ nach

$x$ gleich

$- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit

$f (x) = x$ und

$g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe

$\frac{d}{d x} [y]$ als

$y'$ um.

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.3.5

Mutltipliziere

$y$ mit

$1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 3.2.4

$- 12$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- 12$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

Schritt 3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

Schritt 3.2.5.2

Addiere

$2 y y' - x y' - y$ und

$0$ .

$2 y y' - x y' - y$

Schritt 3.3

$0$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$0$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' - x y' - y = 0$

Schritt 3.5

Löse nach

$y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Addiere

$y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - x y' = y$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere

$y'$ aus

$2 y y' - x y'$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere

$y'$ aus

$2 y y'$ heraus.

$y' (2 y) - x y' = y$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere

$y'$ aus

$- x y'$ heraus.

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere

$y'$ aus

$y' (2 y) + y' (- x)$ heraus.

$y' (2 y - x) = y$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in

$y' (2 y - x) = y$ durch

$2 y - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in

$y' (2 y - x) = y$ durch

$2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2 y - x$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere

$y'$ durch

$1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 3.6

Ersetze

$y'$ durch

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

Schritt 4

The roots of the derivative

$\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Schritt 5