Analysis Beispiele

$x^{3} - 27 x$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 27 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 27 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 27 x$ nach $x$ gleich $- 27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 27 \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 27$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 27$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 27 = 0$ .

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Schritt 2.1

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 27$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 27$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 27$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{27}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{27}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $27$ durch $3$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 27 x$ bei $x = 3$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = {(3)}^{3} - 27 \cdot 3$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = 27 - 27 \cdot 3$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 27$ mit $3$ .

$f (3) = 27 - 81$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $81$ von $27$ .

$f (3) = - 54$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 54$ .

$- 54$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 27 x$ bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} - 27 \cdot - 3$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- 3) = - 27 - 27 \cdot - 3$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = - 27 + 81$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 27$ und $81$ .

$f (- 3) = 54$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $54$ .

$54$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{3} - 27 x$ sind $y = - 54, y = 54$ .

$y = - 54, y = 54$

Schritt 6