Analysis Beispiele

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$

Schritt 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ as a function of $x$ .

$y = 0 \to f (x) = 0$

Schritt 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x y$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

Schritt 2.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

Schritt 2.3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

Schritt 2.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 2.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.1.2

Addiere $9 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y' - 9 x y'$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $- 9 x y'$ heraus.

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ heraus.

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Schritt 2.5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ durch $3 (y^{2} - 3 x)$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ durch $3 (y^{2} - 3 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 2.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 2.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 3 x$ .

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Schritt 2.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 2.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 2.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 2.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 2.5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 2.5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 2.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 2.5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 2.5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9 y$ heraus.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 2.5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Schritt 2.5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 2.5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 2.5.3.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 2.5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $3 y$ heraus.

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 2.5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 3 y)$ heraus.

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 2.5.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.3.3.2.5.1

Schreibe $- (x^{2} - 3 y)$ als $- 1 (x^{2} - 3 y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 2.5.3.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 2.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} - 3 y = 0$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3 y$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{3 y}$

Schritt 3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3 y}$

Schritt 3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3 y}$

Schritt 3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

Schritt 4

Solve the function $f (x) = 0$ at $x = \sqrt{3 y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{3 y}$ .

$f (\sqrt{3 y}) = 0$

Schritt 4.2

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 5

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

Schritt 6