Analysis Beispiele

$x^{2} - x y + 2 y^{2} = 1$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x y + 2 y^{2} - 1 = 0$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - x$ und $c = x^{2} - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 1))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.7

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.7

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 1.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 \cdot (x^{2} - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 8 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.1.7

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 1.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} - x y + 2 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Differenziere.

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Schritt 3.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x y + 2 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - (x y' + y) + 2 (2 y y')$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x - (x y' + y) + 4 y y'$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - (x y') - y + 4 y y'$

Schritt 3.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x - x y' - y + 4 y y'$

Schritt 3.2.4.3

Stelle die Terme um.

$- x y' + 4 y y' + 2 x - y$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x y' + 4 y y' + 2 x - y = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' + 4 y y' - y = - 2 x$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' + 4 y y' = - 2 x + y$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' + 4 y y'$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (- x) + 4 y y' = - 2 x + y$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $4 y y'$ heraus.

$y' (- x) + y' (4 y) = - 2 x + y$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x) + y' (4 y)$ heraus.

$y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$ durch $- x + 4 y$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x + 4 y) = - 2 x + y$ durch $- x + 4 y$ .

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + 4 y$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x + 4 y} + \frac{y}{- x + 4 y}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x + 4 y}$

Schritt 3.5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x + 4 y}$

Schritt 3.5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x + 4 y}$

Schritt 3.5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x + 4 y}$

Schritt 3.5.3.3.5

Schreibe $- (2 x - y)$ als $- 1 (2 x - y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x + 4 y}$

Schritt 3.5.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) + 4 y}$

Schritt 3.5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $4 y$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - (- 4 y)}$

Schritt 3.5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (- 4 y)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x - 4 y)}$

Schritt 3.5.3.3.9

Schreibe $- (x - 4 y)$ als $- 1 (x - 4 y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 4 y)}$

Schritt 3.5.3.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 4 y)}$

Schritt 3.5.3.3.11

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 x - y}{x - 4 y}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x - 4 y}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x - y}{x - 4 y} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x - y = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = y$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y}{2}$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = \frac{x + \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$ at $x = \frac{y}{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{(\frac{y}{2}) + \sqrt{- 7 {(\frac{y}{2})}^{2} + 8}}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{2^{2}} + 8}}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $- 7$ und $\frac{y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Schritt 5.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Schritt 5.2.1.5

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8 \cdot \frac{4}{4}}}{4}$

Schritt 5.2.1.6

Kombiniere $8$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Schritt 5.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Schritt 5.2.1.8

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}}}{4}$

Schritt 5.2.1.9

Schreibe $\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)$ um.

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Schritt 5.2.1.9.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $- 7 y^{2} + 32$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{4}}}{4}$

Schritt 5.2.1.9.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}}}{4}$

Schritt 5.2.1.9.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)}}{4}$

Schritt 5.2.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{4}$

Schritt 5.2.1.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{- 7 y^{2} + 32}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} + \frac{\sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Schritt 5.2.1.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Schritt 5.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$ .

$\frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = \frac{x - \sqrt{- 7 x^{2} + 8}}{4}$ at $x = \frac{y}{2}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{(\frac{y}{2}) - \sqrt{- 7 {(\frac{y}{2})}^{2} + 8}}{4}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{2^{2}} + 8}}{4}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- 7 \frac{y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $- 7$ und $\frac{y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Schritt 6.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8}}{4}$

Schritt 6.2.1.5

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + 8 \cdot \frac{4}{4}}}{4}$

Schritt 6.2.1.6

Kombiniere $8$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{- \frac{7 y^{2}}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Schritt 6.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 8 \cdot 4}{4}}}{4}$

Schritt 6.2.1.8

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}}}{4}$

Schritt 6.2.1.9

Schreibe $\frac{- 7 y^{2} + 32}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)$ um.

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Schritt 6.2.1.9.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $- 7 y^{2} + 32$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{4}}}{4}$

Schritt 6.2.1.9.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}}}{4}$

Schritt 6.2.1.9.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (- 7 y^{2} + 32)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- 7 y^{2} + 32)}}{4}$

Schritt 6.2.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 7 y^{2} + 32})}{4}$

Schritt 6.2.1.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{- 7 y^{2} + 32}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y}{2} - \frac{\sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Schritt 6.2.1.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}}{4}$

Schritt 6.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$ .

$\frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}, y = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

$y = \frac{y + \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}, y = \frac{y - \sqrt{- 7 y^{2} + 32}}{8}$

Schritt 8