Analysis Beispiele

$x^{3} + x$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} + 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $- \frac{1}{3}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ um.

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Schritt 2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Schritt 2.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Schritt 2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 2.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.4.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.4.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Es gibt keine Tangente an einem imaginären Punkt. Der Punkt $x =$ existiert nicht im reellen Koordinatensystem.

Eine Tangente kann nicht über die Wurzel ermittelt werden

Schritt 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{3} + x$ .

No horizontal tangent lines

Schritt 5