Analysis Beispiele

$x^{3} + y^{3} = 7$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} = 7 - x^{3}$

Schritt 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}} \to f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 7$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Differenziere.

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Schritt 3.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Schritt 3.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ durch $3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ durch $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Schritt 3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 3.5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x^{2}}{y^{2}} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$ at $x = 0$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 - {(0)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 - 0}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 + 0}$

Schritt 5.2.3

Addiere $7$ und $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\sqrt[3]{7}$ .

$\sqrt[3]{7}$

Schritt 6

The horizontal tangent lines are $y = \sqrt[3]{7}$

$y = \sqrt[3]{7}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \sqrt[3]{7}$

Dezimalform:

$y = 1.91293118 \dots$

Schritt 8