Analysis Beispiele

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

Schritt 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

Schritt 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Schritt 2.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 (x y' + y)$

Schritt 2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x y' + 2 y$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

Schritt 2.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $2 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' - 2 x y'$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ heraus.

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Schritt 2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ durch $3 y^{2} - 2 x$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ durch $3 y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2} - 2 x$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Schritt 2.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 y - 3 x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} = - 2 y$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 2 y$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 2 y$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.4.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.2.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.2.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.2.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

Schritt 3.2.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Schritt 3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Schritt 3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Schritt 3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Schritt 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ und $y$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Schritt 5.2.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $y$ und $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

Schritt 5.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Schritt 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Schritt 7