Analysis Beispiele

$x^{2} - x$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 x - 1$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{2} - x$ bei $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Schritt 3.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = x^{2} - x$ ist $y = - \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Schritt 5