Analysis Beispiele

$x^{2} + x y + y^{2} = 9$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x y + y^{2} - 9 = 0$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = x$ und $c = x^{2} - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 9))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} + 36$ heraus.

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Schritt 1.4.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} + 36$ heraus.

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Schritt 1.5.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 1.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 1.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ heraus.

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Schritt 1.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ heraus.

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Schritt 1.5.7

Schreibe $- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ als $- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ um.

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Schritt 1.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.4

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} + 36$ heraus.

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Schritt 1.6.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ heraus.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 1.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 1.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 1.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ heraus.

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Schritt 1.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ heraus.

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Schritt 1.6.7

Schreibe $- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ als $- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ um.

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Schritt 1.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 9$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Differenziere.

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Schritt 3.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x y + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Schritt 3.2.4

Stelle die Terme um.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Schritt 3.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Schritt 3.5.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y' + 2 y y'$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x) + y' (2 y)$ heraus.

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ durch $x + 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ durch $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2 y$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.3.3.5.1

Schreibe $- (2 x + y)$ als $- 1 (2 x + y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x + y = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - y$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y}{2}$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) - \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Schritt 5.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Schritt 5.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Schritt 5.2.1.5

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Schritt 5.2.1.6

Kombiniere $12$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Schritt 5.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Schritt 5.2.1.8

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Schritt 5.2.1.9

Kombiniere $3$ und $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Schritt 5.2.1.10

Schreibe $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ um.

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Schritt 5.2.1.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3 (- y^{2} + 48)$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Schritt 5.2.1.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Schritt 5.2.1.10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Schritt 5.2.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{2}$

Schritt 5.2.1.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Schritt 5.2.1.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Schritt 5.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.3

Multipliziere $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Schritt 5.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.7.1

Schreibe $- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ als $- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Schritt 5.2.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Schritt 5.2.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Schritt 5.2.7.4

Mutltipliziere $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Schritt 5.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) + \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Schritt 6.2.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 6.2.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Schritt 6.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Schritt 6.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Schritt 6.2.1.5

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Schritt 6.2.1.6

Kombiniere $12$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Schritt 6.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Schritt 6.2.1.8

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Schritt 6.2.1.9

Kombiniere $3$ und $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Schritt 6.2.1.10

Schreibe $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ um.

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Schritt 6.2.1.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3 (- y^{2} + 48)$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Schritt 6.2.1.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Schritt 6.2.1.10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Schritt 6.2.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$

Schritt 6.2.1.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Schritt 6.2.1.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Schritt 6.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Schritt 6.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Schritt 6.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Schritt 6.2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.7.1

Schreibe $- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ als $- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Schritt 6.2.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Schritt 6.2.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Schritt 6.2.7.4

Mutltipliziere $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Schritt 6.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Schritt 8