Analysis Beispiele

$x^{2} + x y - y^{2} = - 11$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x y - y^{2} + 11 = 0$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = x$ und $c = x^{2} + 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (x^{2} + 11))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} + 4 \cdot (x^{2} + 11)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $11$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} + 4 x^{2} + 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.1.4

Addiere $x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{- 2}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{- x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{- 2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} + 4 \cdot (x^{2} + 11)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $11$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} + 4 x^{2} + 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.1.4

Addiere $x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{- 2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{- x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{- 2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} + 4 \cdot (x^{2} + 11)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot 11}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $11$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} + 4 x^{2} + 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.1.4

Addiere $x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{- 2}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache $\frac{- x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{- 2}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$

Schritt 1.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{x + \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y - y^{2} = - 11$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 11)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Differenziere.

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Schritt 3.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x y - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 3.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + x y' + y - (2 y y')$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x + x y' + y - 2 y y'$

Schritt 3.2.4

Stelle die Terme um.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y$

Schritt 3.3

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - 2 y y' + y = - 2 x$

Schritt 3.5.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - 2 y y' = - 2 x - y$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y' - 2 y y'$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x - 2 y y' = - 2 x - y$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' (x) + y' (- 2 y) = - 2 x - y$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x) + y' (- 2 y)$ heraus.

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ durch $x - 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ durch $x - 2 y$ .

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2 y$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x - 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x - 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x - 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x - 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.3.3.5.1

Schreibe $- (2 x + y)$ als $- 1 (2 x + y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x - 2 y}$

Schritt 3.5.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 x + y}{x - 2 y} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x + y = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - y$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{y}{2}$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = \frac{x + \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{(- \frac{y}{2}) + \sqrt{5 {(- \frac{y}{2})}^{2} + 44}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 44}}{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{5 ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 44}}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{5 (1 (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 44}}{2}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{5 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 44}}{2}$

Schritt 5.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{5 (\frac{y^{2}}{4}) + 44}}{2}$

Schritt 5.2.1.5

Kombiniere $5$ und $\frac{y^{2}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{5 y^{2}}{4} + 44}}{2}$

Schritt 5.2.1.6

Um $44$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{5 y^{2}}{4} + 44 \cdot \frac{4}{4}}}{2}$

Schritt 5.2.1.7

Kombiniere $44$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{5 y^{2}}{4} + \frac{44 \cdot 4}{4}}}{2}$

Schritt 5.2.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{5 y^{2} + 44 \cdot 4}{4}}}{2}$

Schritt 5.2.1.9

Mutltipliziere $44$ mit $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{5 y^{2} + 176}{4}}}{2}$

Schritt 5.2.1.10

Schreibe $\frac{5 y^{2} + 176}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (5 y^{2} + 176)$ um.

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Schritt 5.2.1.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $5 y^{2} + 176$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (5 y^{2} + 176)}{4}}}{2}$

Schritt 5.2.1.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (5 y^{2} + 176)}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Schritt 5.2.1.10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (5 y^{2} + 176)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (5 y^{2} + 176)}}{2}$

Schritt 5.2.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5 y^{2} + 176}}{2}$

Schritt 5.2.1.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{5 y^{2} + 176}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{5 y^{2} + 176}}{2}}{2}$

Schritt 5.2.1.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{\frac{- y + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{2}}{2}$

Schritt 5.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- y + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere $\frac{- y + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{- y + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- y + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- y + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- (y) + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{5 y^{2} + 176}$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{5 y^{2} + 176})}{4}$

Schritt 5.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- \sqrt{5 y^{2} + 176})$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- (y - \sqrt{5 y^{2} + 176})}{4}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.7.1

Schreibe $- (y - \sqrt{5 y^{2} + 176})$ als $- 1 (y - \sqrt{5 y^{2} + 176})$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- 1 (y - \sqrt{5 y^{2} + 176})}{4}$

Schritt 5.2.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{y - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$

Schritt 5.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{y - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$ .

$- \frac{y - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = \frac{x - \sqrt{5 x^{2} + 44}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{(- \frac{y}{2}) - \sqrt{5 {(- \frac{y}{2})}^{2} + 44}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 44}}{2}$

Schritt 6.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{2}$ an.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{5 ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 44}}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{5 (1 (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 44}}{2}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{5 (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 44}}{2}$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{5 (\frac{y^{2}}{4}) + 44}}{2}$

Schritt 6.2.1.5

Kombiniere $5$ und $\frac{y^{2}}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{5 y^{2}}{4} + 44}}{2}$

Schritt 6.2.1.6

Um $44$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{5 y^{2}}{4} + 44 \cdot \frac{4}{4}}}{2}$

Schritt 6.2.1.7

Kombiniere $44$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{5 y^{2}}{4} + \frac{44 \cdot 4}{4}}}{2}$

Schritt 6.2.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{5 y^{2} + 44 \cdot 4}{4}}}{2}$

Schritt 6.2.1.9

Mutltipliziere $44$ mit $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{5 y^{2} + 176}{4}}}{2}$

Schritt 6.2.1.10

Schreibe $\frac{5 y^{2} + 176}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (5 y^{2} + 176)$ um.

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Schritt 6.2.1.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $5 y^{2} + 176$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (5 y^{2} + 176)}{4}}}{2}$

Schritt 6.2.1.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (5 y^{2} + 176)}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Schritt 6.2.1.10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (5 y^{2} + 176)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (5 y^{2} + 176)}}{2}$

Schritt 6.2.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{5 y^{2} + 176})}{2}$

Schritt 6.2.1.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{5 y^{2} + 176}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{5 y^{2} + 176}}{2}}{2}$

Schritt 6.2.1.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{\frac{- y - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{2}}{2}$

Schritt 6.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- y - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $\frac{- y - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{- y - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- y - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- y - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- (y) - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$

Schritt 6.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{5 y^{2} + 176}$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- (y) - (\sqrt{5 y^{2} + 176})}{4}$

Schritt 6.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - (\sqrt{5 y^{2} + 176})$ heraus.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- (y + \sqrt{5 y^{2} + 176})}{4}$

Schritt 6.2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.7.1

Schreibe $- (y + \sqrt{5 y^{2} + 176})$ als $- 1 (y + \sqrt{5 y^{2} + 176})$ um.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{- 1 (y + \sqrt{5 y^{2} + 176})}{4}$

Schritt 6.2.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{y + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$

Schritt 6.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{y + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$ .

$- \frac{y + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = - \frac{y - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}, y = - \frac{y + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$

$y = - \frac{y - \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}, y = - \frac{y + \sqrt{5 y^{2} + 176}}{4}$

Schritt 8