Analysis Beispiele

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $x^{2} - 3$ und $0$ .

$x^{2} - 3$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} - 3 = 0$ .

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Schritt 2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ bei $x = \sqrt{3}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3} + 2$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} - 3 \sqrt{3} + 2$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.2.1.3.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 3 \sqrt{3} + 2$

Schritt 3.2.1.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Schritt 3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Schritt 3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 3 \sqrt{3} + 2$

Schritt 3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Schritt 3.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = - 2 \sqrt{3} + 2$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2 \sqrt{3} + 2$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ bei $x = - \sqrt{3}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Schritt 4.2.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Schritt 4.2.1.5

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.1.5.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Schritt 4.2.1.5.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Schritt 4.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Schritt 4.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- (3 \sqrt{3})$ heraus.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Schritt 4.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Schritt 4.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{3}) = - (\sqrt{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Schritt 4.2.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2$

Schritt 4.2.2

Addiere $- \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} + 2$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{3} + 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2$

Schritt 5

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ sind $y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$ .

$y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$

Schritt 6