Analysis Beispiele

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ .

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Schritt 1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

Schritt 1.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

Schritt 1.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

Schritt 1.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Schritt 1.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

Schritt 1.3.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Schritt 1.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Schreibe ${(y - 2)}^{2}$ als $(y - 2) (y - 2)$ um.

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(y - 2) (y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $2 y$ von $- 2 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

Schritt 3.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 4 y + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.8

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 3.2.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 y y' - 4 y' + 0$

Schritt 3.2.10

Addiere $2 y y' - 4 y'$ und $0$ .

$2 y y' - 4 y'$

Schritt 3.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 (x - 3)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (1 + 0)$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' - 4 y' = 4$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y' - 4 y'$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$2 y' y - 4 y' = 4$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 4 y'$ heraus.

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ heraus.

$2 y' (y - 2) = 4$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - 2) = 4$ durch $2 (y - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - 2) = 4$ durch $2 (y - 2)$ .

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2}{y - 2}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{y - 2} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 4.2

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 5

Das Gleichsetzen der Ableitung mit $0$ , $\frac{2}{y - 2} = 0$ , ergibt keine Lösungen, folglich gibt es keine horizontalen Tangenten.

Keine horizontalen Tangenten gefunden

Schritt 6