Analysis Beispiele

$y = x + 9 x^{2}$ , $[- 2, 4]$

Schritt 1

Das quadratische Mittel (root mean square, RMS) einer Funktion $f$ in einem angegebenen Intervall $[a, b]$ ist die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels (Durchschnitts) der Quadrate der ursprünglichen Werte.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Schritt 2

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für das Quadratmittel einer Funktion ein.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 2} \cdot (\int_{- 2}^{4} {(x + 9 x^{2})}^{2} d x)}$

Schritt 3

Berechne das Integral.

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Schritt 3.1

Multipliziere ${(x + 9 x^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 3.1.1

Schreibe ${(x + 9 x^{2})}^{2}$ als $(x + 9 x^{2}) (x + 9 x^{2})$ um.

$\int_{- 2}^{4} (x + 9 x^{2}) (x + 9 x^{2}) d x$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 2}^{4} x (x + 9 x^{2}) + 9 x^{2} (x + 9 x^{2}) d x$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 2}^{4} x \cdot x + x (9 x^{2}) + 9 x^{2} (x + 9 x^{2}) d x$

Schritt 3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{- 2}^{4} x \cdot x + x (9 x^{2}) + 9 x^{2} x + 9 x^{2} (9 x^{2}) d x$

Schritt 3.1.5

Stelle $x$ und $9$ um.

$\int_{- 2}^{4} x \cdot x + 9 \cdot x \cdot x^{2} + 9 x^{2} x + 9 x^{2} (9 x^{2}) d x$

Schritt 3.1.6

Bewege $x^{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} x \cdot x + 9 \cdot x \cdot x^{2} + 9 x^{2} x + 9 \cdot 9 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{- 2}^{4} x^{1} x + 9 x \cdot x^{2} + 9 x^{2} x + 9 \cdot 9 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{- 2}^{4} x^{1} x^{1} + 9 x \cdot x^{2} + 9 x^{2} x + 9 \cdot 9 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{- 2}^{4} x^{1 + 1} + 9 x \cdot x^{2} + 9 x^{2} x + 9 \cdot 9 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 9 x \cdot x^{2} + 9 x^{2} x + 9 \cdot 9 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 9 (x^{1} x^{2}) + 9 x^{2} x + 9 \cdot 9 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 9 x^{1 + 2} + 9 x^{2} x + 9 \cdot 9 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.13

Addiere $1$ und $2$ .

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 9 x^{3} + 9 x^{2} x + 9 \cdot 9 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 9 x^{3} + 9 (x^{2} x^{1}) + 9 \cdot 9 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 9 x^{3} + 9 x^{2 + 1} + 9 \cdot 9 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.16

Addiere $2$ und $1$ .

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 9 x^{3} + 9 x^{3} + 9 \cdot 9 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.17

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 9 x^{3} + 9 x^{3} + 81 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 3.1.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 9 x^{3} + 9 x^{3} + 81 x^{2 + 2} d x$

Schritt 3.1.19

Addiere $2$ und $2$ .

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 9 x^{3} + 9 x^{3} + 81 x^{4} d x$

Schritt 3.1.20

Addiere $9 x^{3}$ und $9 x^{3}$ .

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 18 x^{3} + 81 x^{4} d x$

Schritt 3.1.21

Stelle $18 x^{3}$ und $81 x^{4}$ um.

$\int_{- 2}^{4} x^{2} + 81 x^{4} + 18 x^{3} d x$

Schritt 3.1.22

Bewege $x^{2}$ .

$\int_{- 2}^{4} 81 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} d x$

Schritt 3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{4} 81 x^{4} d x + \int_{- 2}^{4} 18 x^{3} d x + \int_{- 2}^{4} x^{2} d x$

Schritt 3.3

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $81$ aus dem Integral.

$81 \int_{- 2}^{4} x^{4} d x + \int_{- 2}^{4} 18 x^{3} d x + \int_{- 2}^{4} x^{2} d x$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$81 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{4}) + \int_{- 2}^{4} 18 x^{3} d x + \int_{- 2}^{4} x^{2} d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{4}) + \int_{- 2}^{4} 18 x^{3} d x + \int_{- 2}^{4} x^{2} d x$

Schritt 3.6

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $18$ aus dem Integral.

$81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{4}) + 18 \int_{- 2}^{4} x^{3} d x + \int_{- 2}^{4} x^{2} d x$

Schritt 3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{4}) + 18 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{4}) + \int_{- 2}^{4} x^{2} d x$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{4}) + 18 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{4}) + \int_{- 2}^{4} x^{2} d x$

Schritt 3.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$81 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{4}) + 18 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{4}$

Schritt 3.10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $4$ und $- 2$ .

$81 ((\frac{4^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{4}$

Schritt 3.10.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $4$ und $- 2$ .

$81 (\frac{4^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{4}$

Schritt 3.10.3

Berechne $\frac{1}{3} x^{3}$ bei $4$ und $- 2$ .

$81 (\frac{4^{5}}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4

Vereinfache.

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Schritt 3.10.4.1

Potenziere $4$ mit $5$ .

$81 (\frac{1024}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5}) + 18 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.2

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$81 (\frac{1024}{5} - \frac{- 32}{5}) + 18 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$81 (\frac{1024}{5} - - \frac{32}{5}) + 18 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$81 (\frac{1024}{5} + 1 (\frac{32}{5})) + 18 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.5

Mutltipliziere $\frac{32}{5}$ mit $1$ .

$81 (\frac{1024}{5} + \frac{32}{5}) + 18 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$81 \frac{1024 + 32}{5} + 18 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.7

Addiere $1024$ und $32$ .

$81 (\frac{1056}{5}) + 18 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.8

Kombiniere $81$ und $\frac{1056}{5}$ .

$\frac{81 \cdot 1056}{5} + 18 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.9

Mutltipliziere $81$ mit $1056$ .

$\frac{85536}{5} + 18 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.10

Potenziere $4$ mit $4$ .

$\frac{85536}{5} + 18 (\frac{256}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $4$ .

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Schritt 3.10.4.11.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$\frac{85536}{5} + 18 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.4.11.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{85536}{5} + 18 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{85536}{5} + 18 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{85536}{5} + 18 (\frac{64}{1} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.11.2.4

Dividiere $64$ durch $1$ .

$\frac{85536}{5} + 18 (64 - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.12

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{85536}{5} + 18 (64 - \frac{16}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 3.10.4.13.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{85536}{5} + 18 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.4.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{85536}{5} + 18 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{85536}{5} + 18 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{85536}{5} + 18 (64 - \frac{4}{1}) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.13.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{85536}{5} + 18 (64 - 1 \cdot 4) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{85536}{5} + 18 (64 - 4) + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.15

Subtrahiere $4$ von $64$ .

$\frac{85536}{5} + 18 \cdot 60 + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.16

Mutltipliziere $18$ mit $60$ .

$\frac{85536}{5} + 1080 + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.17

Um $1080$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{85536}{5} + 1080 \cdot \frac{5}{5} + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.18

Kombiniere $1080$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{85536}{5} + \frac{1080 \cdot 5}{5} + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{85536 + 1080 \cdot 5}{5} + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.4.20.1

Mutltipliziere $1080$ mit $5$ .

$\frac{85536 + 5400}{5} + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.20.2

Addiere $85536$ und $5400$ .

$\frac{90936}{5} + (\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.21

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{90936}{5} + \frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.22

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $64$ .

$\frac{90936}{5} + \frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}$

Schritt 3.10.4.23

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{90936}{5} + \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8$

Schritt 3.10.4.24

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{90936}{5} + \frac{64}{3} + 8 (\frac{1}{3})$

Schritt 3.10.4.25

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{90936}{5} + \frac{64}{3} + \frac{8}{3}$

Schritt 3.10.4.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{90936}{5} + \frac{64 + 8}{3}$

Schritt 3.10.4.27

Addiere $64$ und $8$ .

$\frac{90936}{5} + \frac{72}{3}$

Schritt 3.10.4.28

Kürze den gemeinsamen Teiler von $72$ und $3$ .

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Schritt 3.10.4.28.1

Faktorisiere $3$ aus $72$ heraus.

$\frac{90936}{5} + \frac{3 \cdot 24}{3}$

Schritt 3.10.4.28.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.4.28.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{90936}{5} + \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

Schritt 3.10.4.28.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{90936}{5} + \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

Schritt 3.10.4.28.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{90936}{5} + \frac{24}{1}$

Schritt 3.10.4.28.2.4

Dividiere $24$ durch $1$ .

$\frac{90936}{5} + 24$

Schritt 3.10.4.29

Um $24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{90936}{5} + 24 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.10.4.30

Kombiniere $24$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{90936}{5} + \frac{24 \cdot 5}{5}$

Schritt 3.10.4.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{90936 + 24 \cdot 5}{5}$

Schritt 3.10.4.32

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.4.32.1

Mutltipliziere $24$ mit $5$ .

$\frac{90936 + 120}{5}$

Schritt 3.10.4.32.2

Addiere $90936$ und $120$ .

$\frac{91056}{5}$

Schritt 4

Vereinfache die Formel für das Quadratmittel.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4 + 2}$ mit $\frac{91056}{5}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{91056}{(4 + 2) \cdot 5}}$

Schritt 4.2

Addiere $4$ und $2$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{91056}{6 \cdot 5}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck $\frac{91056}{6 \cdot 5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $6$ aus $91056$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{6 \cdot 15176}{6 \cdot 5}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $6$ aus $6 \cdot 5$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{6 \cdot 15176}{6 (5)}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{6 \cdot 15176}{6 \cdot 5}}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{15176}{5}}$

Schritt 4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{15176}{5}}$ als $\frac{\sqrt{15176}}{\sqrt{5}}$ um.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{15176}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Schreibe $15176$ als $2^{2} \cdot 3794$ um.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $15176$ heraus.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (3794)}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.5.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3794}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3794}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3794}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.7.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.7.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.7.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3794} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{5 \cdot 3794}}{5}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $3794$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{18970}}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{18970}}{5}$

Dezimalform:

$f_{rms} = 55.09264923 \dots$

Schritt 6