Analysis Beispiele

$4 x + 2 y + 6 = 0$ , $(- 5, 4)$

Schritt 1

Das quadratische Mittel (root mean square, RMS) einer Funktion $f$ in einem angegebenen Intervall $[a, b]$ ist die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels (Durchschnitts) der Quadrate der ursprünglichen Werte.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(y)}^{2} d y}$

Schritt 2

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für das Quadratmittel einer Funktion ein.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4 + 5} \cdot (\int_{- 5}^{4} {(4 x + 2 y + 6)}^{2} d y)}$

Schritt 3

Berechne das Integral.

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Schritt 3.1

Sei $u = 4 x + 2 y + 6$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1.1

Es sei $u = 4 x + 2 y + 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Differenziere $4 x + 2 y + 6$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + 2 y + 6]$

Schritt 3.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 2 y + 6$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 3.1.1.2.2

Da $4 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 3.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2 + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 3.1.1.4

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + 2 + 0$

Schritt 3.1.1.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.1.1.5.1

Addiere $0$ und $2$ .

$2 + 0$

Schritt 3.1.1.5.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 3.1.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = 4 x + 2 y + 6$ ein.

$u_{lower} = 4 x + 2 \cdot - 5 + 6$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$u_{lower} = 4 x - 10 + 6$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $- 10$ und $6$ .

$u_{lower} = 4 x - 4$

Schritt 3.1.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = 4 x + 2 y + 6$ ein.

$u_{upper} = 4 x + 2 \cdot 4 + 6$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$u_{upper} = 4 x + 8 + 6$

Schritt 3.1.5.2

Addiere $8$ und $6$ .

$u_{upper} = 4 x + 14$

Schritt 3.1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4 x - 4$

$u_{upper} = 4 x + 14$

Schritt 3.1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{4 x - 4}^{4 x + 14} u^{2} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4 x - 4}^{4 x + 14} \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{4 x - 4}^{4 x + 14} u^{2} d u$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{4 x - 4}^{4 x + 14}$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $4 x + 14$ und $4 x - 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {(4 x + 14)}^{3} - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 14 + 3 (4 x) \cdot 14^{2} + 14^{3}) - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1.2.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 14 + 3 (4 x) \cdot 14^{2} + 14^{3}) - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.2.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot 14 + 3 (4 x) \cdot 14^{2} + 14^{3}) - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.2.3

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) \cdot 14 + 3 (4 x) \cdot 14^{2} + 14^{3}) - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.2.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) \cdot 14 + 3 (4 x) \cdot 14^{2} + 14^{3}) - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.2.5

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} (64 x^{3} + 48 x^{2} \cdot 14 + 3 (4 x) \cdot 14^{2} + 14^{3}) - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.2.6

Mutltipliziere $14$ mit $48$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} (64 x^{3} + 672 x^{2} + 3 (4 x) \cdot 14^{2} + 14^{3}) - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} (64 x^{3} + 672 x^{2} + 12 x \cdot 14^{2} + 14^{3}) - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.2.8

Potenziere $14$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} (64 x^{3} + 672 x^{2} + 12 x \cdot 196 + 14^{3}) - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.2.9

Mutltipliziere $196$ mit $12$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} (64 x^{3} + 672 x^{2} + 2352 x + 14^{3}) - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.2.10

Potenziere $14$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} (64 x^{3} + 672 x^{2} + 2352 x + 2744) - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} (64 x^{3}) + \frac{1}{3} (672 x^{2}) + \frac{1}{3} (2352 x) + \frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1.4.1

Multipliziere $\frac{1}{3} (64 x^{3})$ .

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Schritt 3.6.1.4.1.1

Kombiniere $64$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{3} x^{3} + \frac{1}{3} (672 x^{2}) + \frac{1}{3} (2352 x) + \frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.4.1.2

Kombiniere $\frac{64}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (672 x^{2}) + \frac{1}{3} (2352 x) + \frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $672 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (3 (224 x^{2})) + \frac{1}{3} (2352 x) + \frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + \frac{1}{3} (3 (224 x^{2})) + \frac{1}{3} (2352 x) + \frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + \frac{1}{3} (2352 x) + \frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.1.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $2352 x$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + \frac{1}{3} (3 (784 x)) + \frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + \frac{1}{3} (3 (784 x)) + \frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.4.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2744$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} {(4 x - 4)}^{3})$

Schritt 3.6.1.5

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot - 4 + 3 (4 x) {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}))$

Schritt 3.6.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1.6.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot - 4 + 3 (4 x) {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}))$

Schritt 3.6.1.6.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} \cdot - 4 + 3 (4 x) {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}))$

Schritt 3.6.1.6.3

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) \cdot - 4 + 3 (4 x) {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}))$

Schritt 3.6.1.6.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) \cdot - 4 + 3 (4 x) {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}))$

Schritt 3.6.1.6.5

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} (64 x^{3} + 48 x^{2} \cdot - 4 + 3 (4 x) {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}))$

Schritt 3.6.1.6.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $48$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} (64 x^{3} - 192 x^{2} + 3 (4 x) {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}))$

Schritt 3.6.1.6.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} (64 x^{3} - 192 x^{2} + 12 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}))$

Schritt 3.6.1.6.8

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} (64 x^{3} - 192 x^{2} + 12 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}))$

Schritt 3.6.1.6.9

Mutltipliziere $16$ mit $12$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} (64 x^{3} - 192 x^{2} + 192 x + {(- 4)}^{3}))$

Schritt 3.6.1.6.10

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} (64 x^{3} - 192 x^{2} + 192 x - 64))$

Schritt 3.6.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{1}{3} (64 x^{3}) - \frac{1}{3} (- 192 x^{2}) - \frac{1}{3} (192 x) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1.8.1

Multipliziere $- \frac{1}{3} (64 x^{3})$ .

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Schritt 3.6.1.8.1.1

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - 64 (\frac{1}{3}) x^{3} - \frac{1}{3} (- 192 x^{2}) - \frac{1}{3} (192 x) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.1.2

Kombiniere $- 64$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64}{3} x^{3} - \frac{1}{3} (- 192 x^{2}) - \frac{1}{3} (192 x) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.1.3

Kombiniere $\frac{- 64}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- 192 x^{2}) - \frac{1}{3} (192 x) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.1.8.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3} (- 192 x^{2}) - \frac{1}{3} (192 x) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 192 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3} (3 (- 64 x^{2})) - \frac{1}{3} (192 x) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} + \frac{- 1}{3} (3 (- 64 x^{2})) - \frac{1}{3} (192 x) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} - (- 64 x^{2}) - \frac{1}{3} (192 x) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} + 64 x^{2} - \frac{1}{3} (192 x) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.1.8.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} + 64 x^{2} + \frac{- 1}{3} (192 x) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.4.2

Faktorisiere $3$ aus $192 x$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} + 64 x^{2} + \frac{- 1}{3} (3 (64 x)) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} + 64 x^{2} + \frac{- 1}{3} (3 (64 x)) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} + 64 x^{2} - (64 x) - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.5

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} + 64 x^{2} - 64 x - \frac{1}{3} \cdot - 64)$

Schritt 3.6.1.8.6

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot - 64$ .

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Schritt 3.6.1.8.6.1

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} + 64 x^{2} - 64 x + 64 (\frac{1}{3}))$

Schritt 3.6.1.8.6.2

Kombiniere $64$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + \frac{- 64 x^{3}}{3} + 64 x^{2} - 64 x + \frac{64}{3})$

Schritt 3.6.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{64 x^{3}}{3} + 64 x^{2} - 64 x + \frac{64}{3})$

Schritt 3.6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{64 x^{3}}{3} + 224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} - \frac{64 x^{3}}{3} + 64 x^{2} - 64 x + \frac{64}{3}$ .

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Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $\frac{64 x^{3}}{3}$ von $\frac{64 x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + 0 + 64 x^{2} - 64 x + \frac{64}{3})$

Schritt 3.6.2.2

Addiere $224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (224 x^{2} + 784 x + \frac{2744}{3} + 64 x^{2} - 64 x + \frac{64}{3})$

Schritt 3.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (224 x^{2} + 784 x + 64 x^{2} - 64 x + \frac{2744 + 64}{3})$

Schritt 3.6.4

Addiere $2744$ und $64$ .

$\frac{1}{2} (224 x^{2} + 784 x + 64 x^{2} - 64 x + \frac{2808}{3})$

Schritt 3.6.5

Dividiere $2808$ durch $3$ .

$\frac{1}{2} (224 x^{2} + 784 x + 64 x^{2} - 64 x + 936)$

Schritt 3.6.6

Addiere $224 x^{2}$ und $64 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (288 x^{2} + 784 x - 64 x + 936)$

Schritt 3.6.7

Subtrahiere $64 x$ von $784 x$ .

$\frac{1}{2} (288 x^{2} + 720 x + 936)$

Schritt 3.6.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (288 x^{2}) + \frac{1}{2} (720 x) + \frac{1}{2} \cdot 936$

Schritt 3.6.9

Vereinfache.

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Schritt 3.6.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.9.1.1

Faktorisiere $2$ aus $288 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (144 x^{2})) + \frac{1}{2} (720 x) + \frac{1}{2} \cdot 936$

Schritt 3.6.9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 (144 x^{2})) + \frac{1}{2} (720 x) + \frac{1}{2} \cdot 936$

Schritt 3.6.9.1.3

Forme den Ausdruck um.

$144 x^{2} + \frac{1}{2} (720 x) + \frac{1}{2} \cdot 936$

Schritt 3.6.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $720 x$ heraus.

$144 x^{2} + \frac{1}{2} (2 (360 x)) + \frac{1}{2} \cdot 936$

Schritt 3.6.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$144 x^{2} + \frac{1}{2} (2 (360 x)) + \frac{1}{2} \cdot 936$

Schritt 3.6.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$144 x^{2} + 360 x + \frac{1}{2} \cdot 936$

Schritt 3.6.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $936$ heraus.

$144 x^{2} + 360 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (468))$

Schritt 3.6.9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$144 x^{2} + 360 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 468)$

Schritt 3.6.9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$144 x^{2} + 360 x + 468$

Schritt 4

Vereinfache die Formel für das Quadratmittel.

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Schritt 4.1

Addiere $4$ und $5$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot (144 x^{2} + 360 x + 468)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $36$ aus $144 x^{2} + 360 x + 468$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $36$ aus $144 x^{2}$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot (36 (4 x^{2}) + 360 x + 468)}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $36$ aus $360 x$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot (36 (4 x^{2}) + 36 (10 x) + 468)}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $36$ aus $468$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot (36 (4 x^{2}) + 36 (10 x) + 36 (13))}$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere $36$ aus $36 (4 x^{2}) + 36 (10 x)$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot (36 (4 x^{2} + 10 x) + 36 (13))}$

Schritt 4.2.5

Faktorisiere $36$ aus $36 (4 x^{2} + 10 x) + 36 (13)$ heraus.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot (36 (4 x^{2} + 10 x + 13))}$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $36$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{36}{9} \cdot (4 x^{2} + 10 x + 13)}$

Schritt 4.4

Dividiere $36$ durch $9$ .

$f_{rms} = \sqrt{4 (4 x^{2} + 10 x + 13)}$

Schritt 4.5

Schreibe $4 (4 x^{2} + 10 x + 13)$ als $2^{2} ({(2 x)}^{2} + 10 x + 13)$ um.

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Schritt 4.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f_{rms} = \sqrt{2^{2} (4 x^{2} + 10 x + 13)}$

Schritt 4.5.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f_{rms} = \sqrt{2^{2} ({(2 x)}^{2} + 10 x + 13)}$

Schritt 4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f_{rms} = 2 \sqrt{{(2 x)}^{2} + 10 x + 13}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$f_{rms} = 2 \sqrt{2^{2} x^{2} + 10 x + 13}$

Schritt 4.7.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f_{rms} = 2 \sqrt{4 x^{2} + 10 x + 13}$

Schritt 5