Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{16}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Schritt 1.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Schritt 1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Schritt 1.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Schritt 1.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{16}$ in den Zähler.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Schritt 1.3.2.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Schritt 1.3.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.3.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Schritt 1.3.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 1.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 1.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Schritt 1.5.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.5.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 1.5.1.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{4}$ als ${(\frac{x}{2})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Schritt 1.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Schritt 1.5.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Schritt 1.5.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Schritt 1.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Schritt 1.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Schritt 1.5.7

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Schritt 1.5.8

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Schritt 1.5.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Schritt 1.5.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Schritt 1.5.11

Mutltipliziere $\frac{4 + x}{2}$ mit $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.5.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Schritt 1.5.13

Schreibe $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ um.

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Schritt 1.5.13.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(4 + x) (4 - x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Schritt 1.5.13.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 1.5.13.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Schritt 1.5.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Schritt 1.5.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Schritt 1.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Schritt 1.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Schritt 1.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Da $\frac{1}{16}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{16}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Schritt 3.2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{16}$ .

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Schritt 3.2.2.4

Kombiniere $\frac{2}{16}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Schritt 3.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 3.2.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Schritt 3.2.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Schritt 3.2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Schritt 3.2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2}}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y y')$

Schritt 3.2.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2}{4} (y y')$

Schritt 3.2.3.5

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{4} y'$

Schritt 3.2.3.6

Kombiniere $\frac{y \cdot 2}{4}$ und $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{4}$

Schritt 3.2.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 \cdot y y'}{4}$

Schritt 3.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.2.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y y'$ heraus.

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{4}$

Schritt 3.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2}$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2} = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $\frac{x}{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y y'}{2} = - \frac{x}{8}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Schritt 3.5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Schritt 3.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y y' = 2 (- \frac{x}{8})$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{x}{8})$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{8}$ in den Zähler.

$y y' = 2 \frac{- x}{8}$

Schritt 3.5.3.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y y' = 2 \frac{- x}{2 (4)}$

Schritt 3.5.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y y' = 2 \frac{- x}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.5.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y y' = \frac{- x}{4}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y y' = - \frac{x}{4}$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y y' = - \frac{x}{4}$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' = - \frac{x}{4}$ durch $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 3.5.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{x}{4}$ .

$y' = - \frac{x}{y \cdot 4}$

Schritt 3.5.4.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$y' = - \frac{x}{4 y}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Entferne die Klammern.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $4$ und $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Schritt 5.2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{16}}{2}$

Schritt 5.2.2.5

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (0) = \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Schritt 5.2.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = \frac{4}{2}$

Schritt 5.2.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f (0) = 2$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $4$ und $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $4$ und $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Schritt 6.2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{16}}{2}$

Schritt 6.2.2.5

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (0) = - \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Schritt 6.2.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = - \frac{4}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 2$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (0) = - 2$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

Schritt 8