Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

Schritt 1

Stelle fest, ob die Funktion ungerade, gerade oder keines von beidem ist, um die Symmetrie zu ermitteln.

1. Wenn ungerade, dann ist die Funktion symmetrisch zum Ursprung.

1. Wenn gerade, dann ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 16 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} - 16 x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ heraus.

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 16)}$

Schritt 2.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 4^{2})}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2.4

Schreibe $x^{2} (x + 4) (x - 4)$ als $x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))$ um.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 2^{2}) (x - 4)}$

Schritt 2.4.2

Füge Klammern hinzu.

$f (x) = \sqrt{x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (x) = x \sqrt{(x + 2^{2}) (x - 4)}$

Schritt 2.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (x) = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 3

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 3.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = (- x) \sqrt{((- x) + 4) ((- x) - 4)}$

Schritt 3.2

Entferne die Klammern.

$f (- x) = - x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)}$

Schritt 4

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 4.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 4.2

Da $- x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)} = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$ , ist die Funktion gerade.

Die Funktion ist gerade

Schritt 5

Da die Funktion nicht ungerade ist, ist sie nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Keine Punktsymmetrie zum Ursprung

Schritt 6

Da die Funktion gerade ist, ist sie symmetrisch zur y-Achse.

y-Achsensymmetrie

Schritt 7