Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1

Es gibt drei Arten von Symmetrie:

1. x-Achsensymmetrie

2. y-Achsensymmetrie

3. Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

Schritt 2

Wenn $(x, y)$ auf dem Graphen liegt, dann ist der Graph symmetrisch zur/zum:

1. x-Achse, wenn $(x, - y)$ auf dem Graph existiert

1. y-Achse, wenn $(- x, y)$ auf dem Graph existiert

3. Ursprung, wenn $(- x, - y)$ auf dem Graph existiert

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 4.2

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 1}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 4.3

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 1}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Schritt 4.6

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ als $x^{2} + 1$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Schritt 4.6.5

Vereinfache.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 5

Check if the graph is symmetric about the $x$ -axis by plugging in $- y$ for $y$ .

$- y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 6

Da die Gleichung mit der ursprünglichen Gleichung nicht identisch ist, ist sie nicht symmetrisch zur x-Achse.

Nicht symmetrisch zur x-Achse

Schritt 7

Check if the graph is symmetric about the $y$ -axis by plugging in $- x$ for $x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Schritt 8.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Schritt 8.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 9

Da die Gleichung mit der ursprünglichen Gleichung nicht identisch ist, ist sie nicht symmetrisch zur y-Achse.

Nicht symmetrisch zur y-Achse

Schritt 10

Prüfe, ob der Graph symmetrisch zum Ursprung ist durch Einsetzen von $- x$ für $x$ und $- y$ für $y$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Schritt 11.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Schritt 11.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 11.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 12

Multipliziere beide Seiten mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $- 1$ .

$- - y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 12.2

Multipliziere $- - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 12.3

Multipliziere $- - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 13

Da die Gleichung mit der ursprünglichen Gleichung identisch ist, ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrisch bezüglich des Ursprungs

Schritt 14