Analysis Beispiele

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x + \frac{1}{x}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Setze den Nenner in $\frac{1}{x + \frac{1}{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + \frac{1}{x} = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $x + \frac{1}{x} = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $x + \frac{1}{x} = 0$ mit $x$ .

$x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 1 = 0 x$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 3.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 3.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 3.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 5

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{5}{2}] \cup [\frac{5}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq - \frac{5}{2}, y \geq \frac{5}{2}}$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, 0) \cup (0, \infty), {x | x \neq 0}$

Wertebereich: $(- \infty, - \frac{5}{2}] \cup [\frac{5}{2}, \infty), {y | y \leq - \frac{5}{2}, y \geq \frac{5}{2}}$

Schritt 7