Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{2} - 9)$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (x^{2} - 9)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{2} - 9 > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Addiere $9$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} > 9$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{9}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{9}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| x | > \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > | 3 |$

Schritt 2.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$| x | > 3$

Schritt 2.4

Schreibe $| x | > 3$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > 3$

Schritt 2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > 3$

Schritt 2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > 3 & x \geq 0 \\ - x > 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.5

Bestimme die Schnittmenge von $x > 3$ und $x \geq 0$ .

$x > 3$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $- x > 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Teile jeden Term in $- x > 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x < - 3$

Schritt 2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 3$ oder $x > 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 3, x > 3}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 3) \cup (3, \infty), {x | x < - 3, x > 3}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 6