Analysis Beispiele

$g (x) = \ln (x^{2} - 1)$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (x^{2} - 1)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{2} - 1 > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} > 1$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Schritt 2.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| x | > 1$

Schritt 2.4

Schreibe $| x | > 1$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > 1$

Schritt 2.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > 1$

Schritt 2.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.5

Bestimme die Schnittmenge von $x > 1$ und $x \geq 0$ .

$x > 1$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $- x > 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Term in $- x > 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x < - 1$

Schritt 2.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 1$ oder $x > 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 1, x > 1}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - 1) \cup (1, \infty), {x | x < - 1, x > 1}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 6