Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Stelle fest, ob die Funktion ungerade, gerade oder keines von beidem ist, um die Symmetrie zu ermitteln.

1. Wenn ungerade, dann ist die Funktion symmetrisch zum Ursprung.

1. Wenn gerade, dann ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 3.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Schritt 3.3.4

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Schritt 3.3.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Schritt 3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Schritt 3.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.8.1

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Schritt 3.3.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Schritt 3.3.8.3

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

Schritt 4

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 4.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 4.2

Da $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , ist die Funktion nicht gerade.

Die Funktion ist nicht gerade

Schritt 5

Eine Funktion ist ungerade, wenn $f (- x) = - f (x)$ .

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Schritt 5.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.2

Da $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , ist die Funktion nicht ungerade.

Die Funktion ist nicht ungerade

Schritt 6

Die Funktion ist weder ungerade noch gerade

Schritt 7

Da die Funktion nicht ungerade ist, ist sie nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Keine Punktsymmetrie zum Ursprung

Schritt 8

Da die Funktion nicht gerade ist, ist sie nicht zur y-Achse symmetrisch.

Kein Schnittpunkt mit der y-Achse

Schritt 9

Da die Funktion weder ungerade noch gerade ist, gibt es keine Punktsymmetrie zum Ursprung und keine y-Achsensymmetrie.

Funktion ist nicht symmetrisch

Schritt 10