Analysis Beispiele

$f (x) = 8 x^{2}$ , $16 x + y + 6 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $16 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y + 6 = - 16 x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 16 x - 6$

Schritt 2

Benutze die Normalform, um die Steigung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.2

Gemäß der Normalform ist die Steigung $- 16$ .

$m = - 16$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{2}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 x$

Schritt 4

Die erste Ableitung einer Funktion stellt die Steigung in jedem Punkt der Funktion dar. In diesem Fall ist die Ableitung von $f (x) = 8 x^{2}$ $16 x$ und die Steigung der gegebenen Geraden $y = - 16 x - 6$ ist $m = - 16$ . Um den Punkt auf $f (x) = 8 x^{2}$ zu finden, an dem die Steigung der Tangente gleich der Steigung der gegebenen Geraden $y = - 16 x - 6$ ist, setze den Wert der Steigung der gegebenen Geraden $- 16$ für den Wert von $16 x$ ein.

$- 16 = 16 x$

Schritt 5

Löse $- 16 = 16 x$ nach $x$ auf, um die x-Koordinate des Punktes zu bestimmen, an dem die Tangente parallel zur vorgegebenen Geraden $y = - 16 x - 6$ ist. In diesem Fall ist die x-Koordinate gleich $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $16 x = - 16$ um.

$16 x = - 16$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $16 x = - 16$ durch $16$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 x = - 16$ durch $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 16}{16}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Dividiere $- 16$ durch $16$ .

$x = - 1$

Schritt 6

Ersetze $- 1$ in $f (x) = 8 x^{2}$ , um die y-Koordinate des Punktes zu erhalten, in dem die Tangente parallel zur gegebenen Gerade $y = - 16 x - 6$ ist. In diesem Fall ist die y-Koordinate $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 8 {(- 1)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 8 \cdot 1$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f (- 1) = 8$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 7

Der Punkt auf $f (x) = 8 x^{2}$ , in dem die Steigung der Tangente gleich der Steigung der gegebenen Geraden $y = - 16 x - 6$ ist, hat die x-Koordinate $- 1$ und die y-Koordinate $8$ . Die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung von $y = - 16 x - 6$ , die gleich $m = - 16$ ist.

$(- 1, 8), m = - 16$

Schritt 8

Die Tangente an $(- 1, 8)$ , wo die Steigung gleich $m = - 16$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 8.1.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (- 16) \cdot x + b$

Schritt 8.1.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Schritt 8.1.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$8 = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Schritt 8.1.5

Ermittele den Wert von $b$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.5.1

Schreibe die Gleichung als $(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$ um.

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$

Schritt 8.1.5.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$16 + b = 8$

Schritt 8.1.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.5.3.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = 8 - 16$

Schritt 8.1.5.3.2

Subtrahiere $16$ von $8$ .

$b = - 8$

Schritt 8.2

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = - 16 x - 8$

Schritt 9