Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 2$ , $(1, - 1)$

Schritt 1

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

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Schritt 1.1

Berechne $f (x) = x^{3} - 2$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{3} - 2$

Schritt 1.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.1.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (1) = - 1$

Schritt 1.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Da $- 1 = - 1$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 2

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

$m$ $=$ Die Ableitung von $f (x) = x^{3} - 2$

Schritt 3

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 4

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 4.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Schritt 4.2

Stelle um.

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Schritt 4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Schritt 4.2.2

Bewege $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2$

Schritt 4.2.3

Bewege $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2$

Schritt 4.2.4

Bewege $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Schritt 4.2.5

Stelle $3 h^{2} x$ und $h^{3}$ um.

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Schritt 4.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

Schritt 5

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - (x^{3} - 2)}{h}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 2 + 2}{h}$

Schritt 6.1.4

Addiere $h^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 + 2}{h}$

Schritt 6.1.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Schritt 6.1.6

Addiere $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Schritt 6.1.7

Faktorisiere $h$ aus $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{3}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Schritt 6.1.7.2

Faktorisiere $h$ aus $3 h^{2} x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Schritt 6.1.7.3

Faktorisiere $h$ aus $3 h x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Schritt 6.1.7.4

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2}) + h (3 h x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Schritt 6.1.7.5

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Schritt 6.2.2.2

Bewege $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Schritt 6.2.2.3

Stelle $3 x h$ und $3 x^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $3 x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Schritt 9

Ziehe den Term $3 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Multipliziere $3 x \cdot 0$ .

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Schritt 12.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

Schritt 12.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

Schritt 12.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Schritt 12.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} + 0 + 0$ .

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Schritt 12.2.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 12.2.2

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 13

Bestimme die Steigung $m$ . In diesem Fall: $m = 3$ .

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Schritt 13.1

Entferne die Klammern.

$m = 3 \cdot 1^{2}$

Schritt 13.2

Vereinfache $3 \cdot 1^{2}$ .

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Schritt 13.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$m = 3 \cdot 1$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$m = 3$

Schritt 14

Die Steigung ist $m = 3$ und der Punkt ist $(1, - 1)$ .

$m = 3, (1, - 1)$

Schritt 15

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 15.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 15.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (3) \cdot x + b$

Schritt 15.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (3) \cdot (1) + b$

Schritt 15.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$- 1 = (3) \cdot (1) + b$

Schritt 15.5

Ermittele den Wert von $b$ .

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Schritt 15.5.1

Schreibe die Gleichung als $(3) \cdot (1) + b = - 1$ um.

$(3) \cdot (1) + b = - 1$

Schritt 15.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + b = - 1$

Schritt 15.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 15.5.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = - 1 - 3$

Schritt 15.5.3.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$b = - 4$

Schritt 16

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = 3 x - 4$

Schritt 17