Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

Schritt 1

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

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Schritt 1.1

Berechne $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

Schritt 1.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

Schritt 1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 5 + 6$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.1.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$f (1) = - 4 + 6$

Schritt 1.1.2.2.2

Addiere $- 4$ und $6$ .

$f (1) = 2$

Schritt 1.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 1.2

Da $2 = 2$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 2

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

$m$ $=$ Die Ableitung von $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Schritt 3

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 4

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 4.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Schritt 4.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Schritt 4.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Schritt 4.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Schritt 4.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 4.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Schritt 4.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Schritt 4.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Schritt 4.2

Stelle um.

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Schritt 4.2.1

Bewege $- 5 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Schritt 4.2.2

Bewege $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Schritt 4.2.3

Stelle $2 h x$ und $h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Schritt 4.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Schritt 5

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache.

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

Schritt 6.1.4

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

Schritt 6.1.5

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

Schritt 6.1.6

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

Schritt 6.1.7

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

Schritt 6.1.8

Addiere $h^{2} + 2 h x - 5 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

Schritt 6.1.9

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} + 2 h x - 5 h$ heraus.

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Schritt 6.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

Schritt 6.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $2 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

Schritt 6.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $- 5 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Schritt 6.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $h (h) + h (2 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Schritt 6.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $h + 2 x - 5$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

Schritt 6.2.2

Stelle $h$ und $2 x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x - 1 \cdot 5$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$2 x - 5$

Schritt 10

Vereinfache $2 (1) - 5$ .

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$m = 2 - 5$

Schritt 10.2

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$m = - 3$

Schritt 11

Die Steigung ist $m = - 3$ und der Punkt ist $(1, 2)$ .

$m = - 3, (1, 2)$

Schritt 12

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 12.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 12.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (- 3) \cdot x + b$

Schritt 12.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

Schritt 12.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

Schritt 12.5

Ermittele den Wert von $b$ .

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Schritt 12.5.1

Schreibe die Gleichung als $(- 3) \cdot (1) + b = 2$ um.

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

Schritt 12.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 + b = 2$

Schritt 12.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.5.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b = 2 + 3$

Schritt 12.5.3.2

Addiere $2$ und $3$ .

$b = 5$

Schritt 13

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = - 3 x + 5$

Schritt 14