Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

Schritt 1

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

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Schritt 1.1

Berechne $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.1.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Schritt 1.1.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 1.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 1.2

Da $1 = 1$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 2

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

$m$ $=$ Die Ableitung von $f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Schritt 3

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 4

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 4.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

Schritt 4.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Schritt 5

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Um $\frac{1}{x + h + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

Schritt 6.1.2

Um $- \frac{1}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Schritt 6.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h + 1) (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + h + 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 6.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + h + 1) (x + 1)$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 6.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 6.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 6.1.5.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 6.1.5.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 6.1.5.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 6.1.5.6

Addiere $- h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 6.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 6.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ in den Zähler.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Schritt 7.2

Ziehe den Term $\frac{1}{x + 1}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Schritt 7.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Schritt 7.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Schritt 7.6

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Schritt 7.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Addiere $x$ und $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Schritt 9.2

Multipliziere $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Schritt 9.2.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Schritt 9.2.3

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Schritt 9.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Schritt 9.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 10

Bestimme die Steigung $m$ . In diesem Fall: $m = - 1$ .

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Schritt 10.2

Entferne die Klammern.

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Schritt 10.3

Vereinfache $- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ .

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Schritt 10.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

Schritt 10.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$m = - \frac{1}{1}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 10.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = - \frac{1}{1}$

Schritt 10.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$m = - 1 \cdot 1$

Schritt 10.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$m = - 1$

Schritt 11

Die Steigung ist $m = - 1$ und der Punkt ist $(0, 1)$ .

$m = - 1, (0, 1)$

Schritt 12

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 12.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 12.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (- 1) \cdot x + b$

Schritt 12.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

Schritt 12.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

Schritt 12.5

Ermittele den Wert von $b$ .

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Schritt 12.5.1

Schreibe die Gleichung als $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ um.

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

Schritt 12.5.2

Vereinfache $(- 1) \cdot (0) + b$ .

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Schritt 12.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + b = 1$

Schritt 12.5.2.2

Addiere $0$ und $b$ .

$b = 1$

Schritt 13

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = - x + 1$

Schritt 14