Analysis Beispiele

$y = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 (x + h) - 0.3 {(x + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 {(x + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 ((x + h) (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.3

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x (x + h) + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.4.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.3 (2 h x) - 0.3 h^{2}$

Schritt 2.1.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.3$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$ .

$5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $5$ .

$0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 5$

Schritt 2.2.2

Bewege $0.6 x$ .

$0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 x + 5$

Schritt 2.2.3

Bewege $0.6 h$ .

$- 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Schritt 2.2.4

Bewege $- 0.3 x^{2}$ .

$- 0.6 h x - 0.3 h^{2} - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Schritt 2.2.5

Stelle $- 0.6 h x$ und $- 0.3 h^{2}$ um.

$- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $0.1$ aus $- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.1.1.1.1

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.1.1.2

Bewege $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (0.6 x - 0.3 x^{2} + 5)}{h}$

Schritt 4.1.1.1.3

Stelle $0.6 x$ und $- 0.3 x^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $0.1$ aus $- 0.3 h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $0.1$ aus $- 0.6 x h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Schritt 4.1.1.4

Faktorisiere $0.1$ aus $- 0.3 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Schritt 4.1.1.5

Faktorisiere $0.1$ aus $0.6 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Schritt 4.1.1.6

Faktorisiere $0.1$ aus $0.6 x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Schritt 4.1.1.7

Faktorisiere $0.1$ aus $5$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Schritt 4.1.1.8

Faktorisiere $0.1$ aus $- (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Schritt 4.1.1.9

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Schritt 4.1.1.10

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Schritt 4.1.1.11

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Schritt 4.1.1.12

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Schritt 4.1.1.13

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Schritt 4.1.1.14

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2}) - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 0.3$ mit $- 10$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $0.6$ mit $- 10$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 10 \cdot 5)}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 50)}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- 3 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 6 x - 50)}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 50 - 50)}{h}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $50$ von $50$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 0)}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Schritt 4.1.8

Schreibe $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ heraus.

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Schritt 4.1.8.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.1.3

Faktorisiere $3$ aus $0 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 6 h + 0 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.1.4

Faktorisiere $3$ aus $6 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 0 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.1.5

Faktorisiere $3$ aus $0 x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Schritt 4.1.8.1.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Schritt 4.1.8.1.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Schritt 4.1.8.1.8

Faktorisiere $3$ aus $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Schritt 4.1.8.1.9

Faktorisiere $3$ aus $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h + 0 x))}{h}$

Schritt 4.1.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0 x))}{h}$

Schritt 4.1.8.3

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0))}{h}$

Schritt 4.1.8.4

Addiere $- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h))}{h}$

Schritt 4.1.8.5

Addiere $- h^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 2 h))}{h}$

Schritt 4.1.8.6

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2} - 2 x h + 2 h$ heraus.

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Schritt 4.1.8.6.1

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) - 2 x h + 2 h))}{h}$

Schritt 4.1.8.6.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 x h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + 2 h))}{h}$

Schritt 4.1.8.6.3

Faktorisiere $h$ aus $2 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

Schritt 4.1.8.6.4

Faktorisiere $h$ aus $h (- h) + h (- 2 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

Schritt 4.1.8.6.5

Faktorisiere $h$ aus $h (- h - 2 x) + h \cdot 2$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x + 2)))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 \cdot (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $0.1$ mit $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $0.3 (- h - 2 x + 2)$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h - 2 x + 2)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h) + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.3 \cdot 2$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $0.3$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.6$

Schritt 4.4

Stelle $- 0.3 h$ und $- 0.6 x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.6 x - 0.3 h + 0.6$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- lim_{h \to 0} 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $0.6 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

Schritt 5.3

Ziehe den Term $0.3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 0.6$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $0.6$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + 0.6$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- 0.6 x - 0.3 \cdot 0 + 0.6$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 0.3$ mit $0$ .

$- 0.6 x + 0 + 0.6$

Schritt 7.2

Addiere $- 0.6 x$ und $0$ .

$- 0.6 x + 0.6$

Schritt 8