Analysis Beispiele

$y = 5 x^{3} - 4 x$ , $(1, 1)$

Schritt 1

Schreibe $y = 5 x^{3} - 4 x$ als Funktion.

$f (x) = 5 x^{3} - 4 x$

Schritt 2

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

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Schritt 2.1

Berechne $f (x) = 5 x^{3} - 4 x$ bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (1) = 5 - 4 \cdot 1$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f (1) = 5 - 4$

Schritt 2.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f (1) = 1$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 2.2

Da $1 = 1$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 3

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

$m$ $=$ Die Ableitung von $f (x) = 5 x^{3} - 4 x$

Schritt 4

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 5

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 5.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 4 (x + h)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 4 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 4 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 4 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 4 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.4

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 4 (x + h)$

Schritt 5.1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 4 x - 4 h$

Schritt 5.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 4 x - 4 h$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 4 x - 4 h$

Schritt 5.2

Stelle um.

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Schritt 5.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 4 x - 4 h$

Schritt 5.2.2

Bewege $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 4 x - 4 h$

Schritt 5.2.3

Bewege $- 4 x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 4 h - 4 x$

Schritt 5.2.4

Bewege $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x$

Schritt 5.2.5

Bewege $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x$

Schritt 5.2.6

Stelle $15 h^{2} x$ und $5 h^{3}$ um.

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x$

Schritt 5.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 4 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 4 x$

Schritt 6

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x - (5 x^{3} - 4 x)}{h}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x - (5 x^{3}) - (- 4 x)}{h}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x - 5 x^{3} - (- 4 x)}{h}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 4 h - 4 x - 5 x^{3} + 4 x}{h}$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $5 x^{3}$ von $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h - 4 x + 0 + 4 x}{h}$

Schritt 7.1.5

Addiere $5 h^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h - 4 x + 4 x}{h}$

Schritt 7.1.6

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h + 0}{h}$

Schritt 7.1.7

Addiere $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h}{h}$

Schritt 7.1.8

Faktorisiere $h$ aus $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h$ heraus.

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Schritt 7.1.8.1

Faktorisiere $h$ aus $5 h^{3}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 4 h}{h}$

Schritt 7.1.8.2

Faktorisiere $h$ aus $15 h^{2} x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 4 h}{h}$

Schritt 7.1.8.3

Faktorisiere $h$ aus $15 h x^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 4 h}{h}$

Schritt 7.1.8.4

Faktorisiere $h$ aus $- 4 h$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 4}{h}$

Schritt 7.1.8.5

Faktorisiere $h$ aus $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 4}{h}$

Schritt 7.1.8.6

Faktorisiere $h$ aus $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 4}{h}$

Schritt 7.1.8.7

Faktorisiere $h$ aus $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 4$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 4)}{h}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 4)}{h}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 4$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 4$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.1

Bewege $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 4$

Schritt 7.2.2.2

Bewege $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 4$

Schritt 7.2.2.3

Stelle $15 x h$ und $15 x^{2}$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 4$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 4$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $15 x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 4$

Schritt 10

Ziehe den Term $15 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 4$

Schritt 11

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 4$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 4$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 4$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 4$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Multipliziere $15 x \cdot 0$ .

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Schritt 15.1.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4$

Schritt 15.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 4$

Schritt 15.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 15.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 4$

Schritt 15.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $15 x^{2} + 0 + 0 - 4$ .

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Schritt 15.2.1

Addiere $15 x^{2}$ und $0$ .

$15 x^{2} + 0 - 4$

Schritt 15.2.2

Addiere $15 x^{2}$ und $0$ .

$15 x^{2} - 4$

Schritt 16

Bestimme die Steigung $m$ . In diesem Fall: $m = 11$ .

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Schritt 16.1

Entferne die Klammern.

$m = 15 \cdot 1^{2} - 4$

Schritt 16.2

Vereinfache $15 \cdot 1^{2} - 4$ .

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$m = 15 \cdot 1 - 4$

Schritt 16.2.1.2

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$m = 15 - 4$

Schritt 16.2.2

Subtrahiere $4$ von $15$ .

$m = 11$

Schritt 17

Die Steigung ist $m = 11$ und der Punkt ist $(1, 1)$ .

$m = 11, (1, 1)$

Schritt 18

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 18.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 18.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (11) \cdot x + b$

Schritt 18.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (11) \cdot (1) + b$

Schritt 18.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$1 = (11) \cdot (1) + b$

Schritt 18.5

Ermittele den Wert von $b$ .

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Schritt 18.5.1

Schreibe die Gleichung als $(11) \cdot (1) + b = 1$ um.

$(11) \cdot (1) + b = 1$

Schritt 18.5.2

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$11 + b = 1$

Schritt 18.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 18.5.3.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = 1 - 11$

Schritt 18.5.3.2

Subtrahiere $11$ von $1$ .

$b = - 10$

Schritt 19

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = 11 x - 10$

Schritt 20