Analysis Beispiele

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + \sin (2 x) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (2 x) = - 1$

Schritt 2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (- 1)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 2.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.6.3.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.6.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.7

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.8

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.8.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 2.8.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.8.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 2.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 2.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 2.8.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 2.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 2.9

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: ${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , für jede Ganzzahl $n$

Wertebereich: $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Schritt 6