Analysis Beispiele

$\sqrt{x}$ , $(1, 1)$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{x}$

Schritt 2

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

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Schritt 2.1

Berechne $f (x) = \sqrt{x}$ bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \sqrt{1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = \sqrt{1}$

Schritt 2.1.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = 1$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 2.2

Da $1 = 1$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 3

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

$m$ $=$ Die Ableitung von $f (x) = \sqrt{x}$

Schritt 4

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 5

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 5.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Schritt 5.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{x + h}$ .

$\sqrt{x + h}$

Schritt 5.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

Schritt 6

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - (\sqrt{x})}{h}$

Schritt 7

Multipliziere $- 1$ mit $\sqrt{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Schritt 8

Da es keine Werte links von $0$ im Definitionsbereich von $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$ gibt, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 9

Bestimme die Steigung $m$ . In diesem Fall: $m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$ .

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Schritt 9.1

Multipliziere $e$ mit $1$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))$

Schritt 9.2

Entferne die Klammern.

$m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$

Schritt 10

Die Steigung ist $m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$ und der Punkt ist $(1, 1)$ .

$m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$

$m = (1, 1)$

Schritt 11

Multipliziere $e$ mit $1$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))$

Schritt 12

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 12.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 12.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot x + b$

Schritt 12.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot (1) + b$

Schritt 12.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$1 = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot (1) + b$

Schritt 12.5

Ermittele den Wert von $b$ .

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Schritt 12.5.1

Schreibe die Gleichung als $D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$ um.

$D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Schritt 12.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.5.2.1

Multipliziere $o$ mit $o$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.5.2.1.1

Bewege $o$ .

$D (o \cdot o) e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Schritt 12.5.2.1.2

Mutltipliziere $o$ mit $o$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Schritt 12.5.2.2

Vereinfache $D o^{2} e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (i s t)) + b = 1$

Schritt 12.5.2.3

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.5.2.3.1

Bewege $s$ .

$D o^{2} e (s \cdot s) (n t) (e \cdot (i t)) + b = 1$

Schritt 12.5.2.3.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t) (e \cdot (i t)) + b = 1$

Schritt 12.5.2.4

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.5.2.4.1

Bewege $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n (t \cdot t)) (e \cdot (i)) + b = 1$

Schritt 12.5.2.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t^{2}) (e \cdot (i)) + b = 1$

Schritt 12.5.2.5

Multipliziere $D o^{2} e s^{2} n t^{2} (e i)$ .

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Schritt 12.5.2.5.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1} e i) + b = 1$

Schritt 12.5.2.5.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1} e^{1} i) + b = 1$

Schritt 12.5.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1 + 1} i) + b = 1$

Schritt 12.5.2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{2} i) + b = 1$

$D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i + b = 1$

Schritt 12.5.3

Subtrahiere $D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = 1 - D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Schritt 13

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i x + 1 - D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Schritt 14