Analysis Beispiele

$4 \tan (3 x) \sec (3 x) + e^{- 2 x} + 6 x$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \tan (3 x) \sec (3 x) + e^{- 2 x} + 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x) \sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x) \sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x) \sec (3 x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \tan (3 x) \sec (3 x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x) \sec (3 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x) \sec (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \tan (3 x)$ und $g (x) = \sec (3 x)$ .

$4 (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)] + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.6.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 (\tan (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.10

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$4 (\tan (3 x) (3 \cdot (\sec (3 x) \tan (3 x))) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.11

Potenziere $\tan (3 x)$ mit $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) (\tan^{1} (3 x) \tan (3 x)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.12

Potenziere $\tan (3 x)$ mit $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) (\tan^{1} (3 x) \tan^{1} (3 x)) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (3 \sec (3 x) {\tan (3 x)}^{1 + 1} + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.15

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + \sec (3 x) (\sec^{2} (3 x) \cdot 3)) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.16

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (3 x)$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + \sec (3 x) (3 \cdot \sec^{2} (3 x))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.17

Potenziere $\sec (3 x)$ mit $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 (\sec^{1} (3 x) \sec^{2} (3 x))) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 {\sec (3 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.19

Addiere $1$ und $2$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $- 2 x$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + \frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $- 2 x$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 3.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) + e^{- 2 x} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 3.5

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x}$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6 \cdot 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x)) + 4 (3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 (\sec (3 x) \tan^{2} (3 x)) + 4 (3 \sec^{3} (3 x)) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 \sec (3 x) \tan^{2} (3 x) + 12 \sec^{3} (3 x) - 2 e^{- 2 x} + 6$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$12 \tan^{2} (3 x) \sec (3 x) + 6 - 2 e^{- 2 x} + 12 \sec^{3} (3 x)$