Analysis Beispiele

$f (x) = \log_{8} (\frac{x - 8}{x})$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{8} (\frac{x - 8}{x})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{x - 8}{x} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 2.3

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 8$

Schritt 2.4

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 8$

Schritt 2.5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x - 8}{x}$ .

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Schritt 2.5.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 8}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2.5.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 2.6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 2.7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 2) - 8}{- 2} > 0$

Schritt 2.7.1.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.7.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.7.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) - 8}{4} > 0$

Schritt 2.7.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 2.7.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(10) - 8}{10} > 0$

Schritt 2.7.3.3

Die linke Seite $0.2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 8$ Falsch

$x > 8$ Wahr

Schritt 2.8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $x > 8$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x - 8}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (8, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < 0, x > 8}$

Schritt 5

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \neq 0}$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, 0) \cup (8, \infty), {x | x < 0, x > 8}$

Wertebereich: $(- \infty, 0) \cup (0, \infty), {y | y \neq 0}$

Schritt 7