Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x + 4}{x \cdot x - 4} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 4 = 0$

$x \cdot x - 4 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 2.8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 4$

$x = 2, - 2$

Schritt 2.9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 4, 2, - 2$

Schritt 2.10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ .

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Schritt 2.10.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \cdot x - 4 = 0$

Schritt 2.10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.10.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.10.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 2.10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.10.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.10.2.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.10.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.10.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.10.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.10.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.10.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 2.10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 2.11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 2.12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 2.12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) + 4}{(- 6) (- 6) - 4} \geq 0$

Schritt 2.12.1.3

Die linke Seite $- 0.0625$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 2.12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 3) + 4}{(- 3) (- 3) - 4} \geq 0$

Schritt 2.12.2.3

Die linke Seite $0.2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.12.3

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.12.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 4}{(0) (0) - 4} \geq 0$

Schritt 2.12.3.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.12.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) + 4}{(4) (4) - 4} \geq 0$

Schritt 2.12.4.3

Die linke Seite $0.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 2.13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 \leq x < - 2$ oder $x > 2$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \cdot x - 4 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 4, - 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

Schritt 6

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \geq 0}$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- 4, - 2) \cup (2, \infty), {x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

Wertebereich: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Schritt 8